Intégration par subsitution

∫x (Sqrt[x+1])dx

On pose 	t=x+1
On a alors	x=t-1
et		dx=dt
L'intégrale devient alors
∫(t-1)(Sqrt[t])dt=∫((t^(3/2))-(t^(1/2)))dt=((t^(5/2))/(5/2))-((t^(3/2))/(3/2))+k
On remplace t par x+1 et on obtient les primitives

(2/5)(((x+1))^(5/2))-(2/3)(((x+1))^(3/2))+k

On pose x=2sin t	et donc t=Arcsin (x/2)
On a alors dx=2cos t dt
et (Sqrt[4-(x^2)])=(Sqrt[4-4(sin^2)t])=(Sqrt[4(cos^2)t])=2cos t
L'intégrale devient alors

∫2 cos t 2 cos tdt=∫4(cos^2)tdt

Sachant que 2 (cos^2)t=1+cos 2t (Carnot), on obtient l'intégrale

∫2(1+cos 2t)dt=2t+∫2 cos 2tdt=2t+sin 2t+k=2t+2sin t cos t+k

Sachant que t=Arcsin (x/2),  x=2sin t et (Sqrt[4-(x^2)])=2cos t on obtient les primitives
2Arcsin (x/2)+(1/2)x(Sqrt[4-(x^2)])+k

On pose  t=(Sqrt[(e^x)+1])	et donc x=ln((t^2)-1)
On a alors dx=((2t)/((t^2)-1))dt
(e^x)=(t^2)-1
L'intégrale devient alors

∫2((t^2)-1)dt=2((t^3)/3)-2t+k

=(2/3)(Sqrt[((((e^x)+1))^3)])-2(Sqrt[(e^x)+1])+k

in=Integrale[HoldForm[(2x-1)/(x+1)],x,t,x+1];Calcule[in]

in=Integrale[HoldForm[x/(1+(Sqrt[x]))],x];
Calcule[in]

in=Integrale[x (x-5)^7,x,t,x-5];
Calcule[in]

in=Integrale[x^2 (3x-1)^3,x,t,3x-1];
Calcule[in]

in=Integrale[(Sqrt[36+(x^2)])/x,x];
Calcule[in]

in=Integrale[Exp[x]/(4Exp[x]^2+9),x];
Calcule[in]